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积化和差公式
发布时间: 2013-5-8 23:20:48 被阅览数: 229 次 来源: 携手家教

积化和差,指初等数学三角函数部分的一组恒等式。
公式

  sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】
  cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
  sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
  cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

证明

法1
  积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
  即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
  sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
  =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
  =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
  其他的3个式子也是相同的证明方法
  (该证明法逆向推导可用于和差化积的计算,参见和差化积)
法2
  根据欧拉公式,e^ix=cosx+isinx
  令x=a+b
  得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
  所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
  sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

记忆方法

  积化和差公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了特点各自的简单记忆方法。
  【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域应该 是
  [-2,2],而积的值域确是[-1,1],因此除以2是必须的。
  也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:
  cos(α-β)-cos(α+β)
  =(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
  =2sinαsinβ
  故最后需要除以2。
 

 


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