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2012成都市三年级数学算法
发布时间: 2012-9-23 19:10:34 被阅览数: 76 次 来源: 成都携手家教网

 

差分法
  差分法是在比较两个分数大小时,用直除法或者化同法等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
  适用形式:
  两个分数作比较时,若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点,这时候使用直除法化同法经常很难比较出大小关系,而使用差分法却可以很好地解决这样的问题。
  基础定义:
  在满足适用形式的两个分数中,我们定义分子与分母都比较大的分数叫大分数,分子与分母都比较小的分数叫小分数,而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为差分数。例如:324/53.1313/51.7比较大小,其中324/53.1就是大分数313/51.7就是小分数,而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是差分数
  差分法使用基本准则——
  差分数代替大分数小分数作比较:
  1、若差分数比小分数大,则大分数比小分数大;
  2、若差分数比小分数小,则大分数比小分数小;
  3、若差分数与小分数相等,则大分数与小分数相等。
  比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1313/51.7作比较,因为11/1.4>313/51.7(可以通过直除法或者化同法简单得到),所以324/53.1>313/51.7
  特别注意:
  一、差分法本身是一种精算法而非估算法,得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系;
  二、差分法化同法经常联系在一起使用,化同法紧接差分法差分法紧接化同法是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
  三、差分法得到差分数小分数做比较的时候,还经常需要用到直除法
  四、如果两个分数相隔非常近,我们甚至需要反复运用两次差分法,这种情况相对比较复杂,但如果运用熟练,同样可以大幅度简化计算。
  【例1】比较7/49/5的大小
  【解析】运用差分法来比较这两个分数的大小关系:
  大分数小分数
  9-7/5-1=2/1(差分数)
  根据:差分数=2/1>7/4=小分数
  因此:大分数=9/5>7/4=小分数
  提示:
  使用差分法的时候,牢记将差分数写在大分数的一侧,因为它代替的是大分数,然后再跟小分数做比较。
  【例2】比较32.3/10132.6/103的大小
  【解析】运用差分法来比较这两个分数的大小关系:
  小分数大分数 .
  32.3/101 32.6/103
  32.6-32.3/103-101=0.3/2(差分数)
  根据:差分数=0.3/2=30/200<32.3/101=小分数(此处运用了化同法”)
  因此:大分数=32.6/103<32.3/101=小分数
  [注释] 本题比较差分数和小分数大小时,还可采用直除法,读者不妨自己试试。
  我这里提示(“差分法原理)
  以例2为例,我们来阐述一下差分法到底是怎样一种原理,先看下图:
  上图显示了一个简单的过程:将号溶液倒入号溶液当中,变成号溶液。其中号溶液的浓度为小分数号溶液的浓度为大分数,而号溶液的浓度为差分数。显然,要比较号溶液与号溶液的浓度哪个大,只需要知道这个倒入的过程是稀释还是变浓了,所以只需要比较号溶液与号溶液的浓度哪个大即可。
  【例3】比较29320.04/4126.3729318.59/4125.16的大小
  【解析】运用差分法来比较这两个分数的大小关系:
  29320.04/4126.37 29318.59/4125.16
  1.45/1.21 N
  根据:很明显,差分数=1.45/1.21<2<29318.59/4125.16=小分数 [
  因此:大分数=29320.04/4126.37<29318.59/4125.16=小分数 )
  [注释] 本题比较差分数和小分数大小时,还可以采用直除法”(本质上与插一个“2”是等价的)
  【例4】下表显示了三个省份的省会城市(分别为ABC)2006GDP及其增长情况,请根据表中所提供的数据回答:
  1.BC两城2005GDP哪个更高?
  2.AC两城所在的省份2006GDP量哪个更高?
  GDP(亿元) GDP增长率占全省的比例
  A 873.2 12.50% 23.9%
  B 984.3 7.8% 35.9% 
  C 1093.4 17.9% 31.2%
  【解析】一、BC两城2005年的GDP分别为:984.3/1+7.8%1093.4/1+17.9%;观察特征(分子与分母都相差一点点)我们使用差分法
  984.3/1+7.8% 1093.4/1+17.9%
  109.1/10.1%
  运用直除法,很明显:差分数=109.1/10.1%>1000>984.3/1+7.8%=小分数,故大分数>小分数
  所以BC两城2005GDPC城更高。
  二、AC两城所在的省份2006GDP量分别为:873.2/23.9%1093.4/31.2%;
  样我们使用差分法进行比较:
  873.2/23.9% 1093.4/31.2%
  220.2/7.3%=660.6/21.9%
  212.6/2%=2126/20%
  上述过程我们运用了两次差分法,很明显:2126/20%>660.6/21.9%,所以873.2/23.9%>1093.4/31.2%;
  因此2006A城所在的省份GDP量更高。
  【例5】比较32053.3×23487.132048.2×23489.1的大小
  【解析】32053.332048.2很相近,23487.123489.1也很相近,因此使用估算法或者截位法进行比较的时候,误差可能会比较大,因此我们可以考虑先变形,再使用差分法,即要比较32053.3×23487.132048.2×23489.1的大小,我们首先比较32053.3/23489.132048.2/23487.1的大小关系:
  32053.3/23489.1 32048.2/23487.1
  根据:差分数=5.1/2>2>32048.2/23487.1=小分数
  因此:大分数=32053.3/23489.1>32048.2/23487.1=小分数
  变型:32053.3×23487.1>32048.2×23489.1
  提示(乘法型差分法”)
  要比较a×ba′×b′的大小,如果aa'相差很小,并且bb'相差也很小,这时候可以将乘法a×ba′×b′的比较转化为除法ab′a′b的比较,这时候便可以运用差分法来解决我们类似的乘法型问题。我们在化除为乘的时候,遵循以下原则可以保证不等号方向的不变:
  化除为乘原则:相乘即交叉。
  直除法是指在比较或者计算较复杂分数时,通过直接相除的方式得到商的首位(首一位或首两位),从而得出正确答案的速算方式。直除法在资料分析的速算当中有非常广泛的用途,并且由于其方式简单而具有极易操作性。
 
 
 

 


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